Activities This Week

I will describe various results, some old and some new, on the structure of the groups of points of an abelian variety over a finite field. The talk will focus on the case of varieties of large dimension over a fixed finite field. In this regime, the Weil bounds allow for the possibility of the exponent of the group staying bounded as the dimension grows. I will explain that at least in the case of Jacobians this cannot be the case. Part of the talk is based on recent joint work with Daniel Keliher.

Kac’s lemma is a classical result in ergodic theory. It asserts that the expected number of

iterates that it takes a point from a measurable set A to return to the set A under an ergodic

probability-preserving transformation is equal to the inverse of the measure of A. As we will discuss in this seminar, there is a natural generalization of Kac’s lemma that applies to probability preserving actions of an arbitrary countable group (and beyond). As an application, we will show that that any ergodic action of a countable group admits a countable generator. The content of this work is based on a joint article with Benjamin Weiss

https://doi.org/10.48550/arXiv.2410.18488

Yotam will give a basic introduction to Nilpotent orbits in Lie algebras. Eitan will use this to introduce the Whittaker models in the generality explained in the paper: generalized Whittaker models.

בעיה 1.

אם נערבב חלב (לבן) בתוך קפה (חום), נתחיל ממצב בו החלב והקפה מופרדים לחלוטין, ונסיים במצב בו החלקיקים התערבבו כל כך שהנוזל מקבל צבע ביניים של חום בהיר. אם נקרין סרטון של קפה מתערבב לאחור, כל ילד יכול בודאי לזהות שהסרטון נע בכיוון ההפוך לזמן, כי הנוזל מתחיל מעורבב ומסיים מופרד לשני צבעים.

מאידך, אם נביט במיקרוסקופ על החלקיקים המתערבבים, יהיה לנו קשה להבדיל בין סרטון שנע קדימה או לאחור בזמן. פשוט נראה חלקיקים חומים ולבנים מתנגשים אחד בשני בכל מיני כיוונים ומהירויות.

התופעה הראשונה (המאקרוסקופית) היא החוויה האנושית הפשוטה של זמן שנע בכיוון ברור. מה שנקרא ״חץ הזמן״. התופעה השניה (המיקרוסקופית) היא התופעה שלמשוואות של הפיסיקה לא אכפת מהכיוון של הזמן, מה שנקרא ״רברסביליות של זמן״.

איך יכול להיות שבמאקרו יש כיוון שלא מופיע כלל במיקרו, או בתיאור הפיסיקלי הבסיסי ?

בעיה 2.

אנו רוצים לבנות מערכת המעודדת מדענים לתת תחזיות מדויקות על העולם. מהי הדרך הנכונה לבנות תגמול כך שיהיה למדענים אינטרס לספק את חוק הטבע המדויק ביותר?

ומה הקשר בין שתי הבעיות הנ״ל?