Activities This Week

By work of Ratner, Margulis, Dani and many others, unipotent flows on homogeneous spaces have strong measure theoretic and topological rigidity properties. By work of Eskin-Mirzakhani and Eskin-Mirzakhani-Mohommadi, the action of SL(2,R) and the upper triangular subgroup of SL(2,R) on strata of translation surfaces have similar rigidity properties. We will describe how some of these results fail for the horocycle flow on strata of translation surfaces. In particular, 1) There exist horocycle orbit closures with fractional Hausdorff dimension. 2) There exist points which do not equidistribute under the horocycle flow with respect to any measure. 3) There exist points which equidistribute distribute under the horocycle flow to a measure, but they are not in the topological support of that measure. This is joint work with Jon Chaika and John Smillie. The talk will be elementary and will require no prior background in dynamics.

בהרצאה זו נציג שיטה לחישוב כל השלשות הפיתגוריות. כפי שהכותרת רומזת, אנו נשתמש במספרים מרוכבים, בתורת החבורות האבליות, ובתכונות של המספרים הראשוניים. כמו כן אספר על ההיסטוריה של הבעיה ופתרונותיה.

ביתר פרוט, התוצאה העיקרית שלנו הינה תאור המבנה של החבורה הכפלית שאבריה הם הנקודות על מעגל היחידה עם קואורדינטות רציונליות. מתוך תאור זה נקבל איפיון מדוייק של כל השלשות הפיתגוריות המצומצמות המסודרות, ונוסחה למספר השלשות הללו בעלות יתר נתון. יתר על כן, התיאור שלנו מאפשר לחשב די בקלות, בעזרת נייר ועט בלבד, את כל השלשות הללו בהנתן יתר. אנסה להדגים זאת במהלך ההרצאה.

מבחינת הקושי, הנה הידע הנדרש להבנת ההרצאה: כמה תכונות אלמנטריות של המספרים המרוכבים, והיכרות מסויימת עם חוגים קומוטטיביים וחבורות אבליות. כלומר חומר שתלמידי שנה ג’ לתואר ראשון במתמטיקה אמורים לדעת. יתכן שאספיק להסביר בהרצאה את ההוכחה של המשפט המרכזי; זה דורש קצת ידע על חוג השלמים של גאוס, אולם אני אצטט את כל מה שצריך לדעת.

ניתן לצפות בתוכן ההרצאה כשקפים או בגרסא להדפסה, וכן במאמר

A universal deformation of Poisson structures was constructed by M.Kontsevich in 90’s. D.Tamarkin explained that the set of universal deformations are in one-to-one correspondence with Drinfeld Associators. On the other hand, we know that all universal deformations of linear Poisson structures are trivial and coincide with universal enveloping algebra. We show that universal deformations of quadratic Poisson structure are as rich as the full set of all deformations.

The first part of the talk will be devoted to the elementary description of Kontsevich Graph complexes and related combinatorics. The relationships with the universal quantization problems of generic and quadratic Poisson structures will be given in the second part of the talk (based on the joint results with Sergei Merkulov https://arxiv.org/abs/2109.07793).

The Arithmetic Fundamental Lemma (AFL) is a local conjecture motivated by decomposing both sides of the Gross—Zagier Formula into local terms using the Relative Trace formula. For each of the local terms, one side is the intersection number in some Rappoport—Zink space. The other side is some orbital integral. To reduce the global computation to local, one needs to consider intersection numbers on both basic and non-basic locus, while the original linear AFL only considers basic locus.

Collaborated with Andreas Mihatsch, we consider the non-basic locus of Unitary Shimura varieties and conjectured a similar version of linear AFL for Rappoport Zink space on non-basic locus parameterizing p-divisible groups with étale extensions. We proved that this version of linear AFL conjecture can be essentially reduced to the linear AFL conjecture for Lubin—Tate spaces, which corresponds to the basic locus parameterizing one-dimensional connected p-divisible groups.

A common method for quantifying the size of sets of Lebesgue measure zero is via Hausdorff or packing dimension. A more delicate question is to determine the value of the corresponding Hausdorff or packing measure at dimension. In this talk we will show a way to approach this question for some simple fractal sets arising from numeration systems.