Activities This Week

Jakob has kindly agreed to speak about his old work on Arakelov motivic cohomology and comparison with the arithmetic intersection pairing of Gillet-Soul'e.

It is a famous result of Harish-Chandra that every non-compact Hermitian symmetric space can be realized as a bounded domain in a complex vector spaces. If we replace the complex numbers by the division algebra of quaternions in the definition of Hermitian symmetric spaces, we obtain the class of quaternion-Kähler symmetric spaces. While these spaces emerge in an analogous way, we show that there is no quaternionic analogue of Harish-Chandra’s embedding theorem: A quaternion-Kähler symmetric space is integrable if and only if it is a quaternionic vector space, quaternionic hyperbolic space or quaternionic projective space. In the talk I will explain some of the background and some of the tools used in the proof.

By work of Ratner, Margulis, Dani and many others, unipotent flows on homogeneous spaces have strong measure theoretic and topological rigidity properties. By work of Eskin-Mirzakhani and Eskin-Mirzakhani-Mohommadi, the action of SL(2,R) and the upper triangular subgroup of SL(2,R) on strata of translation surfaces have similar rigidity properties. We will describe how some of these results fail for the horocycle flow on strata of translation surfaces. In particular, 1) There exist horocycle orbit closures with fractional Hausdorff dimension. 2) There exist points which do not equidistribute under the horocycle flow with respect to any measure. 3) There exist points which equidistribute distribute under the horocycle flow to a measure, but they are not in the topological support of that measure. This is joint work with Jon Chaika and John Smillie. The talk will be elementary and will require no prior background in dynamics.

בהרצאה זו נציג שיטה לחישוב כל השלשות הפיתגוריות. כפי שהכותרת רומזת, אנו נשתמש במספרים מרוכבים, בתורת החבורות האבליות, ובתכונות של המספרים הראשוניים. כמו כן אספר על ההיסטוריה של הבעיה ופתרונותיה.

ביתר פרוט, התוצאה העיקרית שלנו הינה תאור המבנה של החבורה הכפלית שאבריה הם הנקודות על מעגל היחידה עם קואורדינטות רציונליות. מתוך תאור זה נקבל איפיון מדוייק של כל השלשות הפיתגוריות המצומצמות המסודרות, ונוסחה למספר השלשות הללו בעלות יתר נתון. יתר על כן, התיאור שלנו מאפשר לחשב די בקלות, בעזרת נייר ועט בלבד, את כל השלשות הללו בהנתן יתר. אנסה להדגים זאת במהלך ההרצאה.

מבחינת הקושי, הנה הידע הנדרש להבנת ההרצאה: כמה תכונות אלמנטריות של המספרים המרוכבים, והיכרות מסויימת עם חוגים קומוטטיביים וחבורות אבליות. כלומר חומר שתלמידי שנה ג’ לתואר ראשון במתמטיקה אמורים לדעת. יתכן שאספיק להסביר בהרצאה את ההוכחה של המשפט המרכזי; זה דורש קצת ידע על חוג השלמים של גאוס, אולם אני אצטט את כל מה שצריך לדעת.

ניתן לצפות בתוכן ההרצאה כשקפים או בגרסא להדפסה, וכן במאמר