Activities This Week

TBA

כל ילד.ה בגן חובה, או לפחות כל סטודנט.ית שסיימ.ה את החודש הראשון של אינפי 1, יודע.ת כי כל מספר ממשי אי-שלילי הינו ריבוע של מספר ממשי. אם במקום מספרים ממשיים אי-שליליים מסתכלים על פולינומים עם מקדמים ממשיים שכל ערכיהם אי-שליליים, ברור שלא כל פולינום שכזה הוא ריבוע של פולינום עם מקדמים ממשיים. הרי קצת קשה למצוא פולינום שהריבוע שלו יהיה שווה ל- $x^2+4$. אבל לא קשה להראות בעזרת המשפט היסודי של האלגברה כי כל פולינום עם מקדמים ממשיים שכל ערכיו אי-שליליים ניתן לכתוב כסכום של ריבועים של פולינומים עם מקדמים ממשיים.

מה קורה עבור פולינומים בכמה משתנים? ועבור פונקציות רציונליות? שאלות מתימטיות טבעיות אלה העסיקו את מורינו ורבינו דוד הילברט בשלהי המאה ה-19. בהרצאה זו נדבר על התוצאות של הילברט ועל בעיה מס’ 17 ברשימת הבעיות אשר הוא הציג לקונגרס המתימטי הבינלאומי בפריס ב-1900, וגם על גלגולים של הנושא הזה בעשורים האחרונים, כולל — ככל שיותיר הזמן — תכנון כנף של אחד ממטוסי האיירבוס ותוצאה מרתקת אחת מהקיץ האחרון.

Substitutions and their subshifts are classical objects in symbolic dynamics representing some of the most well-studied and ‘simple’ aperiodic systems. Classically they are defined on finite alphabets, but it has recently become clear that a systematic study of substitutions on infinite alphabets is needed. I’ll introduce natural generalizations of classical concepts like legal words, repetitivity, primitivity, etc. in the compact Hausdorff setting, and report on new progress towards characterising unique ergodicity of these systems, where surprisingly, primitivity is not sufficient. As Perron-Frobenius theory fails in infinite dimensions, more sophisticated technology from the theory of positive (quasicompact) operators is employed. There are still lots of open questions, and so a ground-level introduction to these systems will hopefully be approachable and stimulating.

This is joint work with Neil Mañibo and Jamie Walton.